最小二乗法

least-squares method

[目次：画像処理(画像処理／波形処理)]

実験値と計算値の残差の二乗和を最小にするように未知パラメータを決定する方法。結晶構造解析や分光スペクトルの波形分離などに利用されている。未知パラメータの線形結合（Σa_i・x_i + b）によって残差の二乗和を最小化する場合を（線形）最小二乗法という。フィッティングに非線形関数を用いる場合を非線形最小二乗法という。関数を仮定せず数値計算によって未知パラメータのフィッティングを行う場合も非線形最小二乗法である。たとえば、収束電子回折図形の強度と結晶構造モデルから計算される強度との残差二乗和の値を最小にするような構造パラメータ（原子位置、温度因子）を求めるのに使われる。ある構造パラメータの組について残差二乗和を求め、残差二乗和の各パラメータに対する微分が負になるような構造パラメータの組を発生させ、それらの値に対する残差二乗和を計算する。この過程を繰り返して残差二乗和の最小値に到達する。

"Least-squares method" is a method to determine unknown parameters so that the sum of squares of the residuals between the experimental and calculated values is minimized. It is used for crystal structure analysis and spectral curve fitting. When the sum of the squares of the residuals is minimized by a liner combination of unknown parameters (∑a_i・x_i + b), the method is called linear least-squares method. When a nonlinear function is used for fitting, it is called nonlinear least-squares method. Nonlinear least-squares method includes cases where fitting of unknown parameters is executed by numerical calculations without assuming a specific nonlinear function. For example, nonlinear least-squares fitting is effectively used to obtain structural parameters (atom positions, Debye-Waller factors) by minimizing the sum of the squares of the residuals between the experimental intensities of CBED patterns and the calculated intensities for crystal structure models. That is, the sum of the squares of the residuals for a set of certain structural parameters is obtained. Then, a set of structural parameters is generated so that the differential of the sum is negative with respect to each parameter. Then the sum of the squares of the residuals is calculated for the set of the generated parameters. Repeating the calculation procedure reaches the minimum sum of the squares of the residuals, determining the unknown parameters.