自己相関関数

auto-correlation function

与えられた関数の形状に関する情報(鋭いとか、広がっているとか、円形からのずれの度合いなど、あるいは関数の周期性)を得るために用いられる。二つの同じ関数(あるいは図形)において、その関数に含まれるある変数の値を、二つの関数の間で相対的にずらして、二つの関数の重なりをその変数について積分した関数(あるいは図形)のこと。すなわち、対象とする関数をf、その積分変数をX、その変数の相対変位をxとすると、自己相関関数R_ffは次のように書ける。R_ff=∫f(X)f*(X-x)dX. ただし、*は複素共役を示す。像等の実関数の場合は、f*(X-x)=f(X-x)である。変数の相対変位xを大きくしても自己相関関数R_ffが大きい場合は、オリジナルな関数(あるいは図形)は変数Xに関して広がっていることを意味する。相対変位を大きくするとR_ffが速く小さくなる場合は、オリジナル関数(あるいは図形)の広がりは小さい。関数が周期性を持っている場合には、あるxの整数倍ごとにR_ffが大きな値をとるので、その関数の周期性がわかる。このように自己相関関数を計算すれば、ある変数に関する関数や図形の形状についての知見を得ることができる。例として、電顕像では自己相関関数を計算して、像のボケから焦点ずれの度合い、像の伸びから2回非点の大きさが測定できる。自己相関関数の計算にはコンピューターでの計算の高速化を図るために、高速フーリエ変換法を利用して行う。この計算は「ある関数の自己相関関数のフーリエ変換は、関数のフーリエ変換の強度になる」という定理に基づいている。すなわち、関数のフーリエ変換を計算して、その強度を取り、その結果を逆フーリエ変換することによって自己相関関数を計算する。

"Auto-correlation function" is a function to give information about the shape of the function such as sharpness, roundness, periodicity, etc. It is a function (or a pattern) that is acquired by integrating the product (overlap) of two same functions with respect to a variable which are shifted each other by a certain amount about the variable. That is, when we define the object function f, an integral variable of the function X and a relative shift of the function x, the auto-correlation function R_ff can be written as the following equation: R_ff=∫f(X)f*(X-x)dX. Note that * denotes complex conjugate. In the case of a microscope image etc., f is a real function and then f*(X-x)=f(X-x). If the value of R_ff is large even for a large shift, the original function (or the original pattern) is delocalized in the X direction. Contrary, if the auto-correlation function decreases rapidly with increasing the relative shift, the original function (or the original pattern) is localized. If the function is peridic, R_ff takes a large value at integral multiples of a certain x. Thus, the periodicity of the function is obtained. Therefore, the auto-correlation function enables us to obtain the knowledge about the shape of the function or the pattern with respect to the variable. For example, by calculating the auto-correlation function of a TEM image of a particle, the amount of deocus is estimated from a blur of the image and the amount of 2-fold astigmatism is obtained from an elongation of the image. For high-speed computer calculation of the auto-correlation function, FFT (fast Fourier transform) is used on the basis of the following theorem: Fourier transform of the product of certain functions is equivalent to the product of Fourier transforms of the respective functions. That is, the auto-correlation function is calculated by the inverse Fourier transform of the power of the Fourier transforms of the respective functions.