相互相関関数

cross-correlation function

二つの関数がどの程度似ているか、あるいはどの程度ずれているかを表すために用いられる関数。二つの異なる関数(あるいは図形)において、それらの関数に含まれるある変数の値を、二つの関数の間で相対的にずらして、それらの関数の重なりをその変数について積分した関数(あるいは図形)のこと。すなわち、対象とする関数をf、g、それらの積分変数をX、二つの関数の間でのその変数の相対変位をxとすると、相互相関関数R_fgは次のように書ける。R_fg=∫f(X)g*(X-x)dX. ただし、*は複素共役を示す。像等の実関数の場合は、g*(X-x)=g(X-x)である。対象となる二つの関数が同じ場合、相互相関関数は自己相関関数になる。R_fgの値が大きい場合は、二つの関数(あるいは図形)が似ていることを示している。また、ある特定のxについてR_fgが大きくなる場合は、二つの関数の相対的なずれの量がわかる。例として、電顕像を二回撮影し、二つの像の間の相互相関関数を計算すると(この場合、xは時間の関数x(t))、撮影の間に像がどれだけドリフトしたかに関する知見を求めることができる。(xが小さいところで相関関数の値が大きければ、ドリフトが少ない。) 相互相関関数の計算にはコンピューターでの計算の高速化を図るために、高速フーリエ変換法を利用して行う。この計算は「相互相関関数のフーリエ変換は、それぞれの関数のフーリエ変換の強度になる」という定理に基づいている。すなわち、相互相関関数を構成する各関数のフーリエ変換を計算して、それらの強度を取り、その結果を逆フーリエ変換することによって相互相関関数を計算する。

"Cross-correlation function" is a function expressing to what extent arbitrary two functions are similar or to what extent the two functions are shifted. It is a function (or a pattern) that is acquired by integrating the product (overlap) of arbitrary two functions with respect to a variable which are shifted by a certain amount about the variable. That is, when we define the object functions f, g, an integral variable of the functions X and a relative shift of the two functions x, the cross-correlation function R_fg can be written as the following equation: R_fg=∫f(X)g*(X-x)dX. Note that * denotes complex conjugate. In the case of a microscope image, etc., the functions f and g are real, and then g*(X-x)=g(X-x). If the two object functions are the same, the cross-correlation function is reduced to the auto-correlation function. If the value of R_fg is large, it indicates that the two functions (or patterns) are similar to each other. If R_fg takes a large value for a certain value of x, the relative shift between the two functions is obtained. For example, when the cross-correlation function is calculated for two TEM images taken successively, it gives the knowledge about the image drift during the acquisition of the images. (If the value of the correlation function is large for a small value of x, this indicates a small image drift.) For high-speed computer calculation of the cross-correlation function, FFT (fast Fourier transform) is used on the basis of the following theorem: Fourier transform of the product of certain functions is equivalent to the product of Fourier transforms of the respective functions. That is, the cross-correlation function is calculated by the inverse Fourier transform of the power of the Fourier transforms of the respective functions.